Número complexo
Os números complexos são uma extensão <math>\mathbb{C}</math> do conjunto dos números reais <math>\mathbb{R}</math>. Mais precisamente, o conjunto <math>\mathbb{C}</math> é um corpo formado por números da forma <math>x + yi\,\!</math>, onde <math>x, y \in \mathbb{R}</math> e <math>i\,\!</math> é a unidade imaginária (<math>i^2 = -1</math>). Em engenharia e física, é comum a troca da letra <math>i\,\!</math> pela letra <math>j\,\!</math>, devido ao freqüente uso da primeira como indicação de corrente elétrica.
Os números complexos denotam uma quantidade abstrata que pode ser usada em cálculos e possuir significado na Física. Porém, sua aceitação na comunidade matemática foi pequena durante muito tempo. Foi apenas com o descobrimento da representação como um ponto no plano de Argand-Gauss e de aplicações físicas para quantidades imaginárias que os números complexos começaram a ser aceites.
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Representações de um número complexo
Um número complexo <math>z\,\!</math> pode ser representado através de várias maneiras, dentre as quais as mais usuais são:
- Forma retangular: <math>z = x + yi\,\!</math>, com <math>x, y \in \mathbb{R}</math>. Nesta forma, <math>x\,\!</math> é a parte real e <math>y\,\!</math> é chamada parte imaginária do número complexo;
- Forma polar: <math>z = r (\cos\theta + i\sin\theta)\,\!</math>, onde <math>r, \theta \in \mathbb{R}</math>. Neste caso, <math>r\,\!</math> é chamado módulo do número <math>z\,\!</math> e é freqüentemente denotado como <math>\left|z\right|</math>, e <math>\theta\,\!</math> é chamado argumento, sendo denotado como <math>\operatorname{arg}(z)</math>.
A representação polar de um número complexo surgiu da visualização gráfica do mesmo, no plano de Argand-Gauss. Nele, tem-se representada a parte real no eixo das abcissas, a parte imaginária no eixo das ordenadas, o argumento e o módulo do número. Tal representação, em parte, ajudou na aceitação dos números complexos por parte da comunidade matemática da época.
Operações Elementares
O conjunto dos números complexos é um corpo. Portanto, é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. As definições usuais para as operações elementares sobre dois números complexos <math>z = a + bi\,\!</math> e <math>w = c + di\,\!</math> são:
- Soma:
- <math>z + w = w + z = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b+d)i\,\!</math>
- Produto:
- <math>zw = wz = (a + bi) (c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i\,\!</math>
- Conjugado:
- <math>\overline{z} = a - bi</math>, onde <math>\overline{z}</math> denota o conjugado de z.
- Módulo:
- <math>\left|z\right| = r = \sqrt{a^2 + b^2}</math>
- Inverso multiplicativo (para <math>z \neq 0</math>):
- <math>\frac{1}{z} = \frac{1}{a + bi} = \frac{a - bi}{(a + bi)(a - bi)} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} = \frac{\overline{z}}{\left|z\right|^2}</math>
As operações de subtração e divisão são efetuadas transformando em adição com o oposto aditivo e em multiplicação com o inverso multiplicativo, respectivamente. Além destas, existem mais algumas propriedades importantes dos números complexos:
- <math>z \overline{z} = \left|z\right|^2</math>;
- Identidade de de Moivre: <math>z^n = r^n (\cos(n\theta) + i\sin(n\theta))\,\!</math>, onde <math>n \in \mathbb{R}</math>.
Forma exponencial
Uma outra representação é possível com o uso da fórmula de Euler:
- <math>\cos(\theta) + i\sin(\theta) = e^{i\theta}\,\!</math>, onde <math>e\,\!</math> é o número de Euler,
possibilitando a forma exponencial de um número complexo:
- <math>z = a + bi = r (\cos\theta + i\sin\theta) = r e^{i\theta}\,\!</math>.
Esta forma facilita o trabalho com as operações de exponenciação e radiciação complexas, embora ainda assim suas fórmulas sejam complicadas.
O número complexo como extensão algébrica
No campo da álgebra abstrata, o número <math>i\,\!</math> pode ser interpretado como o elemento que gera a extensão algébrica dos números reais contendo a raiz do polinômio <math>x^{2}+1\,\!</math>. Isto é, o corpo <math>\mathbb{C}</math> é isomorfo ao corpo quociente <math>\mathbb{R}/(x^{2}+1)</math> pela aplicação <math>\phi : \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}/(x^{2}+1)</math>, homomorfismo de anéis tal que restrito aos reais é a aplicação identidade e que leva <math>i\,\!</math> em <math> \phi (i) = x\,\!</math>.
Links externos
- Para que servem os números complexos?
- Projeto MatWeb - Números Complexos
- Números Complexos, uma abordagem científica
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