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Teoria do caos

Nota: esta página é sobre a teoria matemática. Se procura outros significados da mesma expressão, consulte Caos.

A Teoria do caos consiste em estudos matemáticos que comprovam que existe ordem em equações de valores flutuantes dinâmicas. Ou em uma linguagem mais popular, que existe ordem em sistemas ditos caóticos.


Índice

O método científico

A partir de William de Ockham (Guilherme de Occam), em sua teoria conhecida por Navalha de Occam, onde "...as melhores teorias são as mais simples"... ou "...pluralidades não devem ser postas sem necessidade...", ou ainda "(sic) ...pluralitas non est ponenda sine neccesitate...", ...a natureza é econômica, isto é, sempre quando houver dois caminhos que levam à verdade, vale o mais simples..., a ciência passou a utilizar um método lógico e simples para chegar às consideradas então verdades científicas, o que futuramente teria que ser revisto.

Galileu, Newton e Laplace

Galileu Galilei introduziu algumas das bases da metodologia científica presas à simplicidade da obtenção de resultados.Segundo aquela metodologia, a ciência continuou gradualmente a sua expansão em direção à determinação das realidades físicas.

Com Isaac Newton, surgiram as leis que regem a Mecânica determinista Clássica e a determinação de que a posição espacial de duas massas gravitacionais poderia ser prevista. Havendo portanto uma explicação plausível da órbita terrestre em relação ao Sol.

Portanto, continuando neste raciocínio, o comportamento de três corpos gravitacionais poderia ser perfeitamente previsível, apesar do trabalho aumentado em função de mais dados inseridos para a execução dos cálculos necessários à determinação de posição.

Porém, ao se acrescentar mais corpos massivos para as determinações de posições, começaram a ocorrer certos desvios imprevisíveis. Newton traduziu estes desvios ou efeitos através de equações diferenciais que mostravam que o sistema em sua evolução tendia para a formação de um sistema de equações diferenciais não lineares.

Diferenciais lineares e não lineares

Existem duas formas ou tipos de equações diferenciais.

<math>a_n(x) \frac{d^ny}{dx^n} + a_{n-1}(x) \frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + a_1(x)\frac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x)\,\!</math>.


Exemplo de equação diferencial não linear:

<math>\left ( \frac{d^2y}{dx^2} \right )^3 - 2xy = 1</math>.

Gravitação

Ao se encontrar no estudo do sistema gravitacional equações diferenciais não lineares, estas se tornavam impossíveis de resolução.

Laplace afirmou que “...(sic) uma inteligência conhecendo todas as variáveis universais em determinado momento, poderia compor numa só fórmula matemática a unificação de todos os movimentos do Universo.

Conseqüentemente deixariam de existir para esta inteligência o passado e o futuro, pois aos seus olhos todos os eventos seriam resultantes do momento presente.”

Perseguindo a harmonia da física de então, na busca de uma resposta para a unificação da natureza, Laplace formulou e desenvolveu os princípios da teoria das probabilidades, trabalhou nas equações diferenciais, criou a transformada de Laplace e a equação de Laplace.

Henri Poincaré

Henri Poincaré em 1880 aproximadamente, pesquisou os problemas relacionados à impossibilidade de resolução das equações diferenciais não lineares, na busca das leis da uniformidade e da unificação dos sistemas físicos. Seu objetivo era descrever o que ocorreria matematicamente quando da introdução de uma massa gravitacional complementar num sistema duplo, isto é, passando a análise de dois para três corpos gravitacionais interagindo mutuamente. Verificou que numa análise mais ampla, não se atendo a detalhes quantitativos e fazendo comparações qualitativas, isto é, enxergando o sistema como um todo. Acabou descobrindo que os sistemas de massas gravitacionais triplas evoluíam sempre para formas cujo equilíbrio era irregular. As órbitas mútuas tendiam a não ser periódicas, se tornavam complexas e irregulares.

Poincaré descobriu que ao invés de existirem órbitas ordenadas, equilibradas e regulares, ou um sistema equilibrado e harmônico, o que ocorriam eram sistemas verdadeiramente desestabilizados, onde o que prevaleceria não era a ordem natural, e sim o caos, a confusão, pois os movimentos se tornavam aleatórios.

Os resultados observados que levavam à confusão e à desarmonia, não condiziam com a harmonia que ocorria na mecânica clássica. Poincaré neste seu trabalho acabou por descobrir uma possibilidade da existência de um sistema desordenado, com variáveis ao acaso. Na época não houve um interesse prático na sua teoria de órbitas irregulares, sendo muitas vezes considerada a teoria uma aberração matemática. Continuaram havendo alguns estudos esparsos por outros matemáticos, porém a nível de curiosidade sobre os Sistemas dinâmicos não-lineares.

Teoria do Caos

Um conjunto de objetos estudados que se inter-relacionem é chamado de sistema. Entre os sistemas consideram-se duas categorias: lineares e não-lineares, que divergem entre si na sua relação de causa e efeito. Na primeira a resposta a um distúrbio é diretamente proporcional à intensidade deste. Já na segunda a resposta não é necessariamente proporcional à intensidade do distúrbio, e é esta a categoria de sistemas que serve de objeto à teoria do caos, mais conhecidos como sistemas dinâmicos não-lineares.

Esta teoria estuda o comportamento aleatório e imprevisível dos sistemas, mostrando uma faceta onde podem ocorrer irregularidades na uniformidade da natureza como um todo. Isto ocorre a partir de pequenas alterações que aparentemente nada têm a ver com o evento futuro, alterando toda uma previsão física dita precisa.

Uma das idéias centrais desta teoria, é que os comportamentos casuais (aleatórios) também são governados por leis e que estas podem predizer dois resultados para uma entrada de dados. O primeiro é uma resposta ordenada e lisa e cujo futuro dos eventos ocorre dentro de margens estatísticas de erros previsíveis. O segundo é uma resposta também ordenada, onde porém a resultante futura dos eventos é corrugada, onde a superfície é áspera, caótica, ou seja, ocorre uma contradição neste ponto onde é previsível que os resultados de um determinado sistema será caótico.

Exemplo de caos

Um exemplo claro seria uma pedra atirada numa piscina, as ondas geradas na queda da pedra se propagam até as margens, refletem e retornam, cruzando-se entre si e, portanto, interagindo. Continuando novamente as ondas vão às margens, porém, já distorcidas devido às reflexões anteriores e às interações ocasionadas pelos cruzamentos entre si. Neste momento começam já a ocorrer alguns movimentos aparentemente caóticos, porém ainda previsíveis pois são padrões das ondas. Mas se começarmos a jogar pedras aleatoriamente na mesma piscina, quanto mais pedras jogarmos, mais caótico será o padrão das ondas na superfície.Imaginemos agora porém, que no fundo desta piscina exista areia finíssima, apesar dos movimentos aleatórios na superfície da piscina, no fundo haverá determinados padrões nesta areia, caóticos sim, mas seguirão a um padrão de ondas de diversas formas, tamanhos, alturas, estas mudarão à medida em que o corrugamento da superfície muda, porém apesar de todo o caos dos movimentos, é reconhecido um padrão. Estatisticamente isto ocorre porque pequenas alterações na alimentação de dados em sistemas de cálculo de previsões podem provocar mudanças drásticas inclusive rupturas a longo prazo. Pois em função de um crescimento inflacionário de realimentação de dados que realimentam por conseqüência dados futuros, estes podem realimentar o sistema com respostas que levam ao crescimento das alterações numa espiral caótica (inflacionária) que mudará toda a previsão estatística daquele sistema, ficando completamente fora das margens de erro convencionais, porém, apesar do aumento da margem de erro sempre será reconhecido um padrão (Espiral), apesar da aparente aleatoriedade.

Em função do efeito caótico, a previsibilidade comportamental dos sistemas em geral, sejam climáticos de uma determinada região, ou movimentos econômicos à exemplo das movimentações das bolsas de valores, ou populações de insetos de um determinado ecossistema, tem uma margem de erro bastante elástica quando comparada à margem convencional.

Edward Lorenz

Edward Lorenz, matemático especializado em meteorologia, de posse de um computador, na década de 60 no Século XX, um avançado Royal McBee Modelo LPG-30 (embora uma máquina simples, era avançada para a época, atualmente, equivalente à uma calculadora científica normal, claro que com as funções de um computador) do departamento de estudos atmosféricos do MIT elaborou um conjunto de fórmulas matemáticas com a finalidade de simular um determinado comportamento climático, para desenvolver novos modelos de previsão meteorológica.

O programa utilizado por Lorenz tinha por finalidade a impressão de séries numéricas que representavam parâmetros atmosféricos como temperatura, velocidade e direção das massas de ar, ascendentes e descendentes, bem como as direções dos ventos, além da evolução da pressão barométrica na atmosfera como um todo. As equações diferenciais utilizadas eram bastante simples, o resultado, mostrado após o processamento dos dados, porém gerou surpresa.

Isto ocorreu no inverno de 1961 quando Lorenz resolveu examinar novamente alguns dados em um programa de simulação climática recém criado. Como naquela época os computadores eram demasiados lentos, o matemático, intentando repetir uma seqüência de dados, digitou-a sem os últimos três dígitos da série que pretendia copiar: ao invés de 0,506127 digitou 0,506 e saiu para tomar um café.

A causa que o levou a utilizar a metade da série de dados anteriores como ponto de partida era a economia de tempo. Uma vez que os dados de entrada eram os mesmos, as duas séries deveriam evoluir paralelamente idênticas. A única diferença estava somente na utilização de parte daqueles dados já calculados que seriam re-inseridos à partir daquele ponto.

A simulação em questão era a evolução climática ao longo de meses em uma determinada região dos Estados Unidos.

Quando voltou, Edward percebeu uma divergência entre os resultados e, por conseqüência, a semelhança entre estes à medida em que o tempo de simulação avançava acabou desaparecendo.

O matemático, como qualquer usuário, pôs a culpa no computador imaginando que o equipamento estaria avariado, pois a lógica era clara, para dados idênticos de entrada, a saída deveria ser idêntica, e a não concordância era ilógica.

Depois de pesquisar e refazer os cálculos, Lorenz acabou por encontrar o defeito. O computador trabalhava em seus cálculos com uma gama de precisão de seis casas, das quais 5 decimais, porém durante a impressão só eram mostradas três casas decimais, e não cinco.

Quando Lorenz copiou os dados portanto, alimentou o computador com três casas, o que acarretou um erro de entrada de dados de décimos de milésimos, e isto feito da metade da série em diante acarretou uma diferença de cálculo em que foi aumentando o erro exponencialmente, ou seja, ocorreu espécie de uma espiral inflacionária (à semelhança dos juros compostos), onde o erro realimentava o erro afastando os resultados entre si.

Efeito Borboleta

Este efeito foi chamado mais tarde por Lorenz de Efeito Borboleta ou seja uma dependência sensível dos resultados finais às condições iniciais da alimentação dos dados.

Ou:


Normalmente este efeito é ilustrado com a noção de que o bater das asas de uma borboleta num extremo do globo terrestre, pode provocar uma tormenta no outro extremo no espaço de tempo de semanas.

O efeito borboleta demonstra a impossibilidade de uma previsão meteorológica perfeita e prova que o determinismo de Laplace para certos casos passa a não funcionar, pois para se ter uma previsão meteorológica de extrema precisão, os dados de alimentação além de serem infinitos, deveriam ser de precisão infinita, portanto, a memória física de processamento de dados também deveria ser infinita. Sendo impossível dispor de tal sistema, é impossível se executar uma previsão determinista nestas bases...

Equações de Lorenz

Edward Lorenz continuando em sua pesquisa dos sistemas dinâmicos, elegeu três equações diferenciais que acabaram por ficar conhecidas como Equações de Lorenz para representar graficamente o comportamento dinâmico através de computadores. 

      \begin{matrix}       \dot x & = & 10(y-x) \\       \dot y & = & 28 x -y-xz \\       \dot z & = & -(8/3)z+xy        \end{matrix}      \right.   </math>

Lorenz continuou observando os efeitos caóticos, notou que variações muito pequenas aleatórias poderiam gerar um efeito dominó que elevava o grau de incerteza em eventos futuros, realimentando os graus de aleatoriedade.

Desenvolveu teorias que demonstravam que a partir de variações mínimas haviam acelerações nas precipitações de dados em determinadas direções que mudavam completamente o resultado de uma determinada experiência.

Em função de suas constatações o meteorologista chegou à conclusão que as previsões de fenômenos climáticos só poderiam adquirir certo grau de precisão utilizando equações matemáticas que levassem em conta o alto grau de incerteza nos eventos.

Fatos podem ser alterados a partir das mais simples reações.

Atrator

O atrator pode ser definido como o comportamento que um sistema dinâmico que independentemente do ponto de partida, tem a tendência para convergir para um ponto (atrator).

Um exemplo clássico que pode ser utilizado para a descrição de um atrator, é uma bola rolando sobre um plano. Devido ao efeito do atrito o movimento da bola tenderá a convergir sempre para uma situação cuja velocidade é nula. Este é o atrator, o movimento zero.

Outro exemplo de atrator é um pêndulo em movimento. O seu balanço, sempre tenderá a convergir para uma oscilação cujo período é constante, isto é, o atrator, é o período constante.

Atrator estranho

Teoria do caos:Atrator estranho de Lorenz
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Atrator estranho de Lorenz

Ao observarmos os resultados dos estados das Equações de Lorenz e os representarmos num gráfico tridimensional, observaremos que haverá uma convergência em direção a um atrator tridimensional.

A figura resultante terá um padrão que não corresponderá nem à órbitas, nem à imobilizações, isto é, o resultado obtido, pode ser considerado diferente do que se esperaria de um atrator, ou seja o resultado que poderá ser considerado estranho.

Logo, no caso acima o sistema em questão não assumirá jamais duas vezes o mesmo estado. Haverá sim uma região onde existirão mais pontos, formando até padrões, mas a figura e seus pontos serão caóticos. Este sistema caótico é considerado imprevisível, porém ocorre o fato estranho: ao mesmo tempo que o sistema é caótico, paradoxalmente converge para um atrator determinado.A concepção destas idéias, ganhou força com o uso de computadores.

Década de oitenta do século XX

Até a década de 1980, os físicos defendiam a tese de que o universo era governado por leis precisas e estáticas, portanto os eventos nele ocorridos poderiam ser previstos. Porém a teoria do caos mostrou que certos eventos universais podem ter ocorrido de modo aleatório.

Quando se estudam os mecanismos que procuram descrever a teoria do caos, os pesquisadores se deparam com o imprevisível em todos os momentos e em todas as partes do desenvolvimento teórico.

Bons exemplos de sistemas caóticos são o crescimento de lavouras e a formação de tempestades, onde qualquer pequena alteração, direção, velocidade de ventos por exemplo, pode provocar grandes mudanças num espaço de tempo maior.

Atratores e fractais

A partir dos estados de um determinado sistema onde existem variáveis tais como massa, pressão, temperatura, velocidade, posição, etc, estes podem ser representados por coordenadas, num determinado espaço cuja configuração pode ser considerada multidimensional, de um ponto cujas coordenadas são determinadas pelas variáveis. Na física clássica podemos descrever o comportamento de um sistema dinâmico geometricamente como o movimento de um atrator. Já nos sistemas considerados caóticos, os atratores são denominados atratores estranhos, isto ocorre pelo elevado grau de incerteza dos resultados destes sistemas.

Os atratores estranhos devem ter estruturas detalhadas em todas as escalas de magnificação. Em função disto foi desenvolvido um modelo conceitual chamado fractal, que tem uma forma geométrica complexa e exibe uma formação estrutural que tem uma propriedade chamada de auto-similaridade. Estes sistemas complexos tornaram possível o progresso no processamento de dados gráfico.

Idéias básicas

As idéias que devem ser levadas em conta num sistema caótico básico são três:

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