Trigonometria
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Trigonometria (do grego trigonon = três ângulos e metro = medida) é o ramo da matemática que estuda as relações em triângulo, ângulos e funções trigonométricas como o seno e cosseno.
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Sobre a trigonometria
Dois triângulos são ditos similares se um pode pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior que o lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.
Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos, triângulos com um ângulo reto (90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.
Imagine dois triângulos retângulos que compartilham um segundo ângulo A. Eles são necessariamente similares, e a razão entre o lado oposto a A e a hipotenusa será, portanto, a mesma nos dois triângulos. Este valor será um número entre 0 e 1 que depende apenas de A; nós chamamos isso de seno de A e é escrito como sin(A). Similamente, pode-se definir o cosseno de A como a razão do cateto adjacente a A pela hipotenusa.
Seno
Seno é a projeção no eixo vertical do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico e vai até a circunferência. No triângulo retângulo, é a relação entre o cateto oposto e a hipotenusa.
Cosseno
Cosseno é a projeção no eixo horizontal do segmento de reta que parte do centro do círculo trigonométrico e vai até a circunferência. No triângulo retângulo, é a relação entre o cateto adjacente (o que forma o ângulo) e a hipotenusa.
Tangente
Tangente é o segmento de reta formado entre o ponto de cruzamento de seu eixo com a reta definida pelo centro do círculo trigonométrico e o ângulo com sua origem. No triangulo retângulo é a relação entre o cateto oposto e o cateto adjacente
Algumas relações
- <math> \sin A = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{hipotenusa}}
\qquad \cos A = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{hipotenusa}}</math>
Estas são as mais importantes funções trigonométricas; outras funções podem ser definidas tomando as razões dos outros lados de um triângulo retângulo, mas podem ser expressas em termos de seno e cosseno. São elas a tangente, secante, cotangente, e cosecante.
- <math> \tan A = {\sin A \over \cos A} = {\mbox{cateto oposto} \over \mbox{cateto adjacente}}
\qquad \sec A = {1 \over \cos A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto adjacente}} </math>- <math> \cot A = {\cos A \over \sin A} = {\mbox{cateto adjacente} \over \mbox{cateto oposto}}
\qquad \csc A = {1 \over \sin A} = {\mbox{hipotenusa} \over \mbox{cateto oposto}} </math>
As razões seno, cosseno e tangente podem ser lembradas por SOH CAH TOA (seno-oposto-hipotenusa cosseno-adjacente-hipotenusa tangente-oposto-adjacente). Veja mnemônicos trigonométricos.
Até então, as funções trigonométricas têm sido definidas por ângulos entre 0 e 90 graus (0 e π/2 radianos) apenas. Usando um círculo unitário, pode-se extendê-los para todos argumentos positivos e negativos (veja função trigonométrica).
Uma vez que as funções seno e cosseno tenham sidos tabuladas (ou computadas por uma calculadora), pode-se responder virtualmente todas questões sobre triângulos arbitrários, usando a lei dos senos e a lei dos cossenos. Estas leis podem ser usadas para calcular os ângulos restantes e lados de qualquer triângulo bem como dois lados e um ângulo ou dois ângulos e um lado ou três lados conhecidos.
Alguns matemáticos acreditam que a trigonometria foi originalmente inventada para calcular relógios de sol, um tradicional exercício em antigos livros. Isto é também muito importante para a agrimensura.
Teorema de Pitágoras
Pitágoras afirmou: "A soma do quadrado do catetos (lados que formam o ângulo de 90°, neste caso a e b) é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90°, ou c)". Assim: c ² = a ² + b ². Um corolário é que se os dois catetos forem de mesmo tamanho, a hipotenusa vale o produto do cateto pela raiz quadrada de 2.
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