Conjecture abc
En théorie des nombres, la conjecture abc fut formulée en premier par Joseph Oesterlé et David Masser en 1985.
D'après cette conjecture, pour tout <math> \varepsilon > 0 </math>, il existe une constante <math> C_{\varepsilon} > 0 </math> tel que pour chaque triplet d'entiers naturels a, b, c satisfaisant
- <math> a + b = c \ \mbox{et}\ \operatorname{pgcd}(a,b) = 1 </math>,
nous avons
- <math> c < C_{\varepsilon} \operatorname{rad}(abc)^{1+\epsilon}, </math>
où rad(n) (le radical de n) est le produit des diviseurs distincts premiers de n.
Elle n'a pas été encore été démontrée. Une conjecture plus précise a été proposée en 1996 par Alan Baker, établissant que dans l'inégalité, on peut remplacer rad(abc) par <math>\varepsilon^{- \omega} \operatorname{rad}(abc)\,</math>, où <math>\omega\,</math> est le nombre total de nombres premiers distincts divisant a, b ou c. Une conjecture reliée de Andrew Granville établit que sur le côté droit de l'égalité, nous pouvions aussi mettre <math>O(\operatorname{rad}(abc)) \Theta(\operatorname{rad}(abc))\,</math> où <math>\Theta(n)\,</math> est le nombre d'entiers allant jusqu'à n divisible seulement par des nombres entiers divisant n.
Voir aussi
Liens externes
- http://mathworld.wolfram.com/abcConjecture.html
- http://www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html
- http://www.math.columbia.edu/~goldfeld/ABC-Conjecture.pdf
Catégories
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