Conjecture de Hilbert-Pólya
En mathématiques, la conjecture de Hilbert-Pólya est une approche possible de l'hypothèse de Riemann, à l'aide de la théorie spectrale.
Hilbert et Pólya ont spéculé que les valeurs de t telle que 1/2 + it soit un zéro de la fonction Zeta de Riemann doivent être les valeurs propres d'un opérateur hermitien, et ceci serait une voie pour démontrer l'hypothèse de Riemann. À ce moment, c'était une petite base pour une telle spéculation. Néanmoins Selberg au début des années 1950 a démontré une dualité entre la longueur du spectre d'une surface de Riemann et les valeurs propres de son laplacien. Ceci, que l'on appelle la formule des traces de Selberg avance une ressemblance frappante avec les formules explicites, donna une certaine crédibilité à la spéculation de Hilbert et Pólya.
Hugh Montgomery rechercha et trouva que la distribution statistique des zéros sur la droite critique possède une certaine propriété. Les zéros ne tendent pas à être trop fermement ensemble, mais à se repousser. En visitant l'Institute for Advanced Study en 1972, il montra ce résultat à Freeman Dyson, un des fondateurs de la théorie des matrices aléatoires, qui sont très importantes en physique — les états propres d'un hamiltonien, par exemple les niveaux d'énergie d'un noyau atomique, satisfont à de telles statistiques.
Dyson dit que la distribution statistique trouvée par Montgomery était exactement la même que la distribution des paires de corrélations pour les valeurs propres d'une matrice hermitienne aléatoire. Le travail postérieur a fortement élevé cette découverte, et la distribution des zéros de la fonction zeta de Riemann est maintenant reconnue pour satisfaire les mêmes statistiques que les valeurs propres d'une matrice hermitienne aléatoire, les statistiques de ce que l'on appelle l'ensemble unitaire gaussien. Ainsi, la conjecture de Pólya et Hilbert possède maintenant une base plus solide, bien qu'elle n'ait pas encore conduit à une démonstration de l'hypothèse de Riemann.
Dans un développement qui a donné une force appréciable à cette approche de l'hypothèse de Riemann à travers l'analyse fonctionnelle, Alain Connes a énoncé une formule de trace qui est actuellement équivalente à l'hypothèse de Riemann généralisée. Ceci a, par conséquent, renforcé l'analogie avec la formule de trace de Selberg au point où elle donne des résultats précis.
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