Besselfunktion

Inom matematiken är besselfunktionerna lösningarna till differentialekvationen

<math>\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{du}{dx} + \left(1 - \frac{\alpha^2}{x^2}\right)u = 0</math>.

Denna ekvation uppkommer när man tittar på den radiella delen av Laplaces ekvation i cylindriska koordinater.

Definition

Besselfunktionerna av första slaget defineras av:

<math> J_\alpha(x) = \sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\alpha+1)} {\left({\frac{x}{2}}\right)}^{2m+\alpha} </math>.

Differentialekvationen har två linjärt oberoende lösningar och därför behövs även besselfunktioner av andra slaget:

<math>Y_\alpha(x) = \frac{J_\alpha(x) \cos(\alpha\pi) - J_{-\alpha}(x)}{\sin(\alpha\pi)},</math>.

<math>Y_\alpha(x)</math> är inte begränsad då <math>x \to 0</math>, vilket gör att man ofta kan bortse från denna lösning av fysikaliska skäl.

I samband med Laplaces ekvation i sfäriska koordinater uppkommer en liknande ekvation för den radiella delen:

<math>\frac{d^2 u}{dx^2} + \frac{2}{x} \frac{du}{dx} + \left(1 - \frac{n(n+1)}{x^2}\right)u = 0.</math>

Denna har de sfäriska besselfunktionerna som lösningar.