Riemanns zeta-funktion
Riemanns zeta-funktion <math>\zeta(s)</math> definieras för alla komplexa tal s med realdel större än 1 som
- <math>
\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infin \frac{1}{n^s}.</math>
Riemann upptäckte att denna serie har en analytisk fortsättning för alla s skilda från 1. Denna fortsättning är vad som ligger till grund för Riemannhypotesen.
Euler upptäckte att serien ovan även kan uttryckas som en oändlig produkt över alla primtal,
- <math>
\zeta(s) = \prod_{p} \frac{1}{1-p^{-s}}.</math>
Man kan uttrycka det inverterade värdet av zeta-funktionen med hjälp av Möbiusfunktionen μ(n) på följande sätt:
- <math>
\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac{\mu(n)}{n^s}</math>för varje komplext tal s med realdel > 1.
Artikelkategori
Analytisk talteori