Liczby urojone
Liczba urojona to liczba, która podniesiona do kwadratu daje wartość ujemną. Pojęcie to zostało wprowadzone przez Kartezjusza w XVII wieku i miało początkowo prześmiewczy wydźwięk: wiadomo było bowiem, że takie liczby nie istnieją. We współczesnej matematyce liczby urojone znajdziemy na pionowej osi płaszczyzny liczb zespolonych.
Każda liczba urojona może zostać zapisana jako <math>bi</math>, gdzie:
- <math>b</math> jest liczbą rzeczywistą,
- <math>i</math> jest jednostką urojoną spełniającą zależność <math>i^2 =-1</math>.
Należy pamiętać, że istnieją dwa pierwiastki spełniające tę równość:<math>i</math> oraz <math>-i</math>
Liczbą zespoloną nazywamy zaś liczbę <math> a + bi = a + b\sqrt{-1}</math>, gdzie <math>a</math> oraz <math>b</math> są liczbami rzeczywistymi.
Każda liczba zespolona może więc zostać zapisana jako suma liczby rzeczywistej i liczby urojonej.
Całkowite potęgi liczby <math>i</math> powtarzają się cyklicznie. Dla <math>k \in \mathbb Z</math>:
- <math>i^n = \begin{cases} 1, & n=4k \\ i, & n=4k+1 \\ -1, & n=4k+2 \\ -i, & n=4k+3 \end{cases}</math>
W elektronice i pokrewnych dziedzinach, jednostka urojona jest często zapisywana jako <math>j</math> w celu uniknięcia pomyłki z wartością chwilową prądu elektrycznego, tradycyjnie oznaczaną literą <math>i</math>.
Zobacz też
Kategorie
Analiza matematyczna