Liczby zespolone
Liczby zespolone – uporządkowane pary liczb rzeczywistych z określonymi na nich działaniami dodawania i mnożenia odpowiednio:
- dodawanie: <math>(a, b) + (c, d)=(a + c, b + d),\ </math>
- mnożenie: <math>(a, b)\cdot(c, d)=(ac - bd, ad + bc),\ </math>
gdzie <math>a, b, c, d \in \mathbb R</math>.
Liczby zespolone można rozumieć jako pewne rozszerzenie zbioru liczb rzeczywistych. Można dowieść, że zbiór <math>(\mathbb R^2, +, \cdot)</math> z tak określonymi działaniami tworzy ciało. Oznacza się je zwykle symbolem <math>\mathbb C</math> (od ang. complex – złożony). Powyższe działania są więc przemienne oraz łączne, co wynika z przemienności i łączności odpowiednich działań w ciele liczb rzeczywistych.
Ciało liczb zespolonych jest ciałem algebraicznie domkniętym. Ponadto jest ono najmniejszym ciałem algebraicznie domkniętym zawierającym liczby rzeczywiste. Mówimy, że ciało liczb zespolonych jest domknięciem algebraicznym ciała liczb rzeczywistych.
Spis treści |
Historia
Liczby zespolone zostały wprowadzone do matematyki przez Girolama Cardana. Nadał on w szczególności liczbie <math>i</math> nazwę jednostki urojonej, nie wierząc w rzeczywiste istnienie takiego obiektu, a jedynie uznając go za pomocniczy element w rachunku, mającym w zamierzeniu dać pierwiastki równania wielomianowego trzeciego stopnia (tzw. wzory Cardano). Liczbami zespolonymi zajmowali się wielcy matematycy tacy jak Hamilton, czy Euler (por. wzór Eulera). Jest to ciekawy przykład pojęcia o fundamentalnym znaczeniu dla techniki (m.in. elektrotechniki), które znalazło swoje główne zastosowanie po kilkuset latach od wynalezienia.
Formalne określenie zbioru liczb zespolonych jako zbioru <math>{\mathbb R}^2</math> pochodzi od Hamiltona.
Postać algebraiczna
Postać pary <math>(a, b)</math> nie jest najwygodniejsza w użyciu (przede wszystkim z powodu nawiasów). Liczbę <math>(a, 0)</math> utożsamiać będziemy z liczbą rzeczywistą <math>a</math>, z kolei <math>(0, b)</math> nie ma swojego odpowiednika w liczbach rzeczywistych.
Jednakże <math>(0, b) = b \cdot (0, 1)</math>, a więc <math>(a, b) = (a, 0) + b \cdot (0,1)</math>. Wprowadzenie oznaczenia na liczbę <math>(0, 1)</math> pozwoliłoby na korzystanie z dogodniejszej postaci <math>a + b(0,1)</math>. Takie oznaczenie na liczbę <math>(0, 1)</math> już istnieje – jest nim <math>i</math> i nazywane jest często jednostką urojoną. Zapis liczby zespolonej wygląda wtedy następująco: <math>a + bi</math>.
Formalnie rzecz ujmując utożsamiamy <math>\mathbb C\ni (a, b) \equiv a + bi</math>. Zauważmy, iż <math>(0, 1)^2 = (0, 1) \cdot (0, 1) = (0 \cdot 0 - 1 \cdot 1, 0 \cdot 1 + 1 \cdot 0) = (-1, 0)</math>, a więc <math>i^2=-1.\ </math> Pochodzący z tej nierówności spotykany czasami zapis <math>i=\sqrt{-1}</math> jest uważany obecnie za niepoprawny.
Dla liczb zespolonych postaci <math>z = a + bi</math> mamy:
- <math>\Re (z) = \mathbf{Re}(z) = a</math> nazywane częścią rzeczywistą,
- <math>\Im (z)= \mathbf{Im}(z) = b</math> nazywane częścią urojoną.
Zapis alternatywny
W zastosowaniach fizycznych, elektrycznych, elektrotechnicznych itp. zapis <math>z = a + bi</math> może okazać się mylące z powodu wykorzystywania w tych działach litery <math>i</math> do innych celów, np. chwilowego natężenia prądu elektrycznego. Dlatego też stosuje się zapis niepowodujący podobnych kłopotów, mianowicie <math>z = a + jb</math>, w którym to <math>j</math> jest jednostką urojoną.
Operacje na liczbach zespolonych
Najwygodniejszą postacią do przeprowadzania działań dodawania i mnożenia jest postać algebraiczna. Wtedy wykonuje się je tak samo jak odpowiednie operacje na wyrażeniach algebraicznych, należy tylko pamiętać o własności <math>i^2 = -1</math>:
- <math>(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,\ </math>
- <math>(a + bi)(c + di) = ac + (bc + ad)i + bd i^2 = (ac - bd) + (bc + ad)i.\ </math>
Warto pamiętać wzór na dzielenie, wywodzący się wprost z powyższej operacji mnożenia:
- <math>{a + bi \over c + di} = {(ac + bd) + (bc - ad)i \over c^2 + d^2}</math>
Postać trygonometryczna
Ponieważ liczby zespolone to pary uporządkowane, możemy je utożsamiać z wektorami płaszczyzny, podobnie jak utożsamiamy prostą z liczbami rzeczywistymi. Interpretacja ta, dla której w specjalny sposób określono mnożenie, znana była już pod koniec XVIII wieku, choć ostatecznie jej autorstwo przypisuje się Argandowi.
Moduł
- Zobacz więcej w osobnym artykule: moduł liczby zespolonej.
Zauważmy, iż długość wektora <math>\vec z = [a, b]</math> jest równa z twierdzenia Pitagorasa <math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2}</math>. Dla liczby <math>z = a + bi</math> definiujmy moduł liczby zespolonej jako <math>|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \ge 0</math>. Moduł liczby zespolonej ma analogiczne własności do wartości bezwzględnej liczby rzeczywistej.
Argument
- Zobacz więcej w osobnym artykule: argument liczby zespolonej.
Niech <math>\phi</math> oznacza kąt, który wektor <math>\vec z</math> tworzy z prostą <math>OX</math>, oznaczmy go przez <math>\arg (z)</math>. Jest to tzw. argument liczby zespolonej. Widać, iż <math>\sin \phi = \frac{b}{|z|}</math> i <math>\cos \phi = \frac{a}{|z|}</math>. Oczywiście liczba zespolona różna od zera ma nieskończenie wiele argumentów, choć tylko jeden moduł. W celu ujednoznaczenia tegoż wprowadza się tzw. argument główny (wartość główną argumentu) oznaczany przez <math>\mbox{Arg} (z)</math>. Jest to argument liczby <math>z</math> spełniający równość <math>0\leq\arg(z)<2\pi</math> (czasami też równoważnie <math>-\pi<\arg(z)\leq\pi</math>).
Gdy <math>|z| = 0 \Leftrightarrow z = 0</math>, argument jest nieokreślony. Dla liczb rzeczywistych argument główny jest równy zeru dla liczb dodatnich oraz <math>\pi</math> dla ujemnych.
Wzór
Tak więc ostatecznie liczba zespolona w tej interpretacji to iloczyn długości wektora (modułu liczby zespolonej) przez kąt skierowany tego wektora (argument liczby zespolonej):
<math>z = a + bi = |z|\frac{a}{|z|} + |z|\frac{b}{|z|}i = |z|(cos \phi + i\sin \phi)</math>
Trywialny jest również fakt, iż mnożenie przez <math>i</math> można zinterpretować jako obrót płaszczyzny o kąt 90° w kierunku przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara.
Wzór de Moivre'a
- Zobacz więcej w osobnym artykule: wzór de Moivre'a.
Mnożenie liczb zespolonych jest dość proste, jednak potęgowanie postaci algebraicznej może sprawiać problemy przy wyższych potęgach. To działanie łatwiej przeprowadzić w postaci trygonometrycznej:
Rozpatrzmy <math>z=|z|(\cos \phi + i\sin \phi)</math>. Na podstawie reguły indukcji matematycznej zachodzi wzór
<math>z^n=|z|^n(\cos \phi + i\sin \phi)^n = |z|^n(\cos(n\phi) + i\sin(n\phi))\ </math>.
Służy on również do obliczania <math>n</math>-tej potęgi funkcji <math>sin</math> i <math>cos</math> – należy obliczyć <math>z^n</math> dla <math>|z|=1</math>.
Z kolei pierwiastkowanie postaci algebraicznej jest niemożliwe — na podstawie wzoru de Moivre'a, który jest również prawdziwy dla liczb niewymiernych, możemy wykonać pierwiastkowanie jako potęgowanie liczby <math>1 \over n</math>. Ponieważ każdy wielomian ma liczbę pierwiastków równą jego stopniowi, to każda liczba zespolona posiada <math>k</math> pierwiastków:
<math>W_k=\sqrt[n]{|z|}\left(\cos\left({{\psi+2k\pi} \over n} \right) + i \sin \left({\psi+2k\pi \over n}\right)\right)</math>, gdzie <math>(k = 0, 1, ..., n - 1)</math>.
Postać wykładnicza
Rozpatrzmy liczbę <math>z = |z|(\cos \phi + i\sin \phi)</math> spróbujmy wyrazić funkcje <math>sin</math> i <math>cos</math> za pomocą funkcji wykładniczej (por. definicja analityczna funkcji trygonometrycznych):
- <math>\sin \psi = {e^{i\psi} - e^{-i\psi} \over 2i}</math>
- <math>\cos \psi = {e^{i\psi} + e^{-i\psi} \over 2}</math>
Mamy <math>\cos \psi + i\sin \psi = {e^{ i \psi} + e^{-i \psi} \over 2} + i{e^{i \psi} - e^{-i \psi} \over 2i } = {{e^{i \psi} + e^{-i \psi} + e^{i \psi} - e^{-i \psi}} \over 2} = e^{i \psi}</math>.
Zatem ostatecznie <math>z = |z|( \cos \phi + i\sin \phi ) = |z|{e^{i\phi}}\,</math>.
Sprzężenie
- Zobacz więcej w osobnym artykule: Liczba sprzężona.
Niech <math>z = a + bi = |z|(\cos \phi + i\sin \phi) = |z|{e^{i\phi}}</math>. Przyjrzyjmy się jeszcze bardzo ważnej operacji jaką jest sprzężenie liczby zespolonej. Jeżeli liczba jest w postaci algebraicznej to przeprowadzenie tego działania jest trywialne:
- <math>\overline z = a - bi</math>
Jest oczywiste, że powoduje to odbicie izomorficznego wektora na płaszczyźnie względem osi OX, zatem postać trygonometryczna zachowa moduł, lecz zmieni argument – dokładnie o <math>2\pi - \phi</math> czy, równoważnie, argument zmieni znak na przeciwny. Skoro postać wykładnicza również zależy od modułu i argumentu ten sam fakt ma zastosowanie w tej postaci.
Sprzężenie przeprowadza izomorficznie liczby zespolone w siebie, czyli jest automorfizmem. Dodatkowo działanie to jest inwolucją: <math>\overline{(\overline z)} = z</math>.
Relacja porządku
Rozważmy dwie liczby zespolone <math>v=a + bi</math> i <math>w=c + di</math>. Łatwo możemy stwierdzić, czy są one sobie równe, czy też nie:
- ich moduły i argumenty są równe, czyli <math>|v|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{c^2 + d^2}=|w|</math> oraz <math>\mbox{Arg}(v) = \mbox{Arg}(w) \Leftrightarrow \arctan{b \over a}=\arctan{d \over c}</math>,
- ich części rzeczywiste oraz urojone są równe, czyli <math>a=c</math> oraz <math>b=d</math>.
Choć można by umówić się na jakiś porządek liczb zespolonych (np. leksykograficzny), to jednak taka relacja nie została określona. Tak więc nie da się określić, która z dwóch liczb jest większa lub mniejsza. Można natomiast porównywać ich moduły oraz argumenty (główne), gdyż zarówno moduł jak i argument liczby zespolonej są liczbami rzeczywistymi.
Przykłady
Najczęściej stosowanymi postaciami liczb zespolonych są:
- algebraiczna: <math>z=\mbox{Re} z+i \mbox{Im} z\ </math>
- trygonometryczna: <math>z=|z|(\cos \arg z+i \sin \arg z)</math>
- wykładnicza (biegunowa): <math>z=|z|e^{i \arg z}</math>
Przedstawmy liczbę <math>u = (1, \sqrt{3})</math> w tych postaciach i obliczmy jej sprzężenie:
- <math>u = 1+i\sqrt 3, \bar u = 1-i\sqrt 3</math> (postać algebraiczna)
- <math>|u| = |1+i\sqrt 3| = \sqrt{1+3} = \sqrt 4 = 2,</math>
- <math>\cos \arg u = \cos\arg(1 + i\sqrt 3) = {1 \over 2}, \sin\arg u = \sin\arg(1 + i\sqrt 3) = {\sqrt 3 \over 2},</math>
- <math>\arg u = \arg(1 + i\sqrt 3) = {\pi \over 3},</math>
- <math>u = 2(\cos{\pi \over 3}+i \sin{\pi \over 3}), \bar u = 2(\cos{5\pi \over 3}+i \sin{5\pi \over 3})</math> (postać trygonometryczna)
- <math>u = 2e^{{\pi \over 3}i}, \bar u = 2e^{{5\pi \over 3}i}</math> (postać wykładnicza)
Zastosowanie liczb zespolonych
Liczby zespolone są dość wygodnym sposobem zapisu punktów płaszczyzny, choć ostatnimi czasy istnieje trend, aby liczby zespolone, kwaterniony, czy oktawy Cayleya zastępować odpowiednio wektorami przestrzeni <math>\mathbb R^2, \mathbb R^4, \mathbb R^8</math> z odpowiednimi działaniami, z powodu ich względnie łatwego uogólniania na inne potęgi. Jednak użycie liczb zespolonych jest dalekie od zarzucenia: analizą euklidesowej przestrzeni dwuwymiarowej zajmuje się w ogólności tzw. analiza wielowymiarowa, zaś analizą przestrzeni zespolonej analiza zespolona.
Liczby zespolone znajdują zastosowanie m.in. w:
- wyznaczaniu pierwiastków równania kwadratowych, którego wyróżnik jest mniejszy od zera,
- teorii fraktali,
- analizie obwodów elektrycznych prądu przemiennego.
Liczby zespolone można rozumieć jako szczególny przypadek:
W zbiorze liczb zespolonych możemy wyróżnić pozdbiory izomorficzne ze zbiorami:
- liczb naturalnych,
- liczb całkowitych,
- liczb wymiernych,
- liczb niewymiernych,
- liczb przestępnych,
- liczb algebraicznych,
- liczb rzeczywistych,
- liczb urojonych.
Zobacz też
- przegląd zagadnień z zakresu matematyki,
- liczba,
- liczba sprzężona,
- jednostka urojona,
- liczby całkowite Gaussa,
- wzór Eulera.
Linki zewnętrzne
Zbiór ćwiczeń z rozwiązaniami + teoria
Kategorie
Analiza matematyczna | Liczby